845 Lyapunov ’ S Stability of Large Matrices by Projection Methods

This paper presents some practical and guaranteed ways of studying the discrete-time/ continuous-time stability quality of large sparse matrices. The methods use projection techniques for computing an invariant subspace associated with a few outermost eigenvalues (those with largest real parts for the continuous-time case and with largest magnitudes in the discrete-time case). Standard Lyapunov's stability techniques are then used on this latter subspace. Conclusion about instability of the original matrix is drawn from the instability of the small projected matrix. Stability is estimated by means of a quadratic Lyapunov functions composed from the Lyapunov function associated with the projected matrix and some a priori given Lyapunov functions associated with the eld of values of the restriction of the original matrix on the orthogonal complement of the invariant subspace. Stabilit e au sens de Lyapunov de grandes matrices par les m ethodes de projection R esum e : Nous pr esentons quelques m ethodes pour l' etude de la qualit e de la stabilit e discr ete et continue de grandes matrices. Ces m ethodes sont bas ees sur la construction, via des m ethodes de projection, d'un sous espace invariant correspon-dant aux valeurs propres de plus grandes parties r eelles dans le cas discret et de plus grands modules dans le cas continu, sur lequel la stabilit e classique au sense de Lyapunov est etudi e. Ces derni eres informations nous permettent de conclure sur l'instabilit e de la matrice de d epart a partir de l'instabilit e de la matrice projet ee. La stabilit e est d eduite a partir des fonctions quadratiques de Lyapunov associ ees a la matrice projet ee et de quelques fonctions de Lyapunov, donn ees a priori, et asso-ci ees au champ de valeurs de la restriction de la matrice d'origine sur le compl ement orthogonal du sous espace invariant.